پیشکش به:
نیل و ابدیتِ ناتمامِ بودنش…
مقدمه‌ی مترجم
سودای امرِ بیکران، امری فراگیر که بتواند پاسخی برای همه چیز باشد؛ پاسخی که بتواند تمامی حوزه‌های فهم بشری را یکی کند یا دست‌کم به چنان یگانگی‌ای رنگی از توانِش بدهد. شاید هیچ سودایی تاکنون چنین جانِ بشر را در چنبره‌ی خویش نگرفته باشد؛ سودایی که با زبان آغاز شد، همان هراس دیرینه‌ی خدایان که آنان را به انهدام برج بابل وادار کرد. اما چه خواهد شد اگر دریابیم که چنان سودایی رؤیایی بیش نیست و در ذات خود غیرممکن؟ در کنار این سودای آغازین همراه با رشد معرفت ما چیزی دیگر در جان ما رخنه کرد، پرسشی دیگر اما همانقدر سودایی: آیا حقیقتی بنیادین ورای پیش‌فرض‌های ما، ورای آنچه معرفت باواسطه‌اش می‌خوانیم وجود دارد؟ آیا می‌توانیم از یک «چرای» پیوسته و بیکران جلوگیری کرده و درنهایت جایی ایستاده و بگوییم نه این حقیقت دیگر چنان بدیهی و بنیادین است که بی‌واسطه راست است؟ و باز می‌پرسم که اگر چنین نباشد چه؟ اگر درنهایت تمامی معرفت ما و نه فقط منطق، «چیزی جز مجموعه‌ای از همان‌گویی‌های پیوسته» نباشد چه؟ اگر این سودا نیز چیزی جز یک رؤیا نباشد و ما در تسلسلی که گاه از چشم پنهان می‌ماند گرفتار آمده باشیم چه؟ کاری که گودِل در ریاضیات انجام داد نابود کردن همین رؤیا بود. شاید ساده‌انگارانه باشد که نتایج کار گودِل را به سایر حوزه‌های دانش و به طور کل معرفت انسان تعمیم دهیم؛ اما این پرسش اساسی هنوز برجا می‌ماند که: اما اگر اینگونه باشد چه؟ اگر ناتمامیت خصلت ذاتی دانش بشر باشد چه؟ گالیله ریاضیات را زبان خداوند می‌دانست و ما از همان آغاز و بعدها با شدتی بیشتر به یقین ریاضیاتی ایمانی خلل‌ناپذیر داشتیم تا جایی که معیار ما برای یقین و هرگونه دانش یا معرفت متقن ریاضیات بود و تلاش کردیم که نه تنها فلسفه که تمام حوزه‌های معرفت را از یقینی ریاضیاتی برخوردار کنیم. اکنون اگر بپذیریم و پس از گودل ناچاریم بپذیریم که ریاضیات، همان پادشاه معرفت ما، خود ناتمام و وابسته به مجموعه‌ای از پیش‌فرض‌های آغازین است دیگر چه چیز از آن سوداهای کهن می‌ماند؟ اگر ایمان ما به ریاضیات چنین منهدم شود آیا جایی برای هر گونه حقیقت بنیادین ِفارغ از پیش‌فرض‌ها باقی می‌ماند؟ اگر چنین باشد باید پرسید آیا این ناتمامیت یک نقص است یا یک فرصت که در ذات خویش انسان‌ـ‌بودگی را معنا می‌دهد؟ در اینجا فرصت پرداختن به این پرسش‌ها وجود ندارد؛ اما هر گونه معرفت انسانی در نهایت باید با چنین پرسش‌هایی روبه‌رو شود و درنهایت ما را از چشم دوختن به این مغاک گریزی نیست؛ مغاکی که نسبت میان ما و حقیقت را معین خواهد کرد.
این مقاله تا جایی که من می‌دانم ساده‌ترین و سرراست‌ترین تشریح و توضیحی است که از چگونگی کار گودِل به دست داده شده است و برگردان آن ضرورتی به نِگر می‌آمد که باید به انجام می‌رسید. قبل از آغاز متن اصلی بخش‌هایی از مقاله‌ی مهم گودِل به نام «مسئله‌ی پیوستار کانتور چیست؟» را خواهم آورد. این فقرات را از برگردان ضیاء موحد از این مقاله که در کتاب «از ارسطو تا گودل، چاپ ۱۳۸۹، صفحات ۲۳۵-۲۳۴» منتشر شده است برگرفته‌ام:
«باید به یاد داشت که لازم نیست شهود ریاضی چون قوه‌ای تصور شود که دانشی بی‌واسطه از شیءهای مورد نظر به ما می‌دهد. بلکه به نظر می‌رسد، همان گونه که در تجربه‌ی فیزیکی، در اینجا نیز ایده‌های خود را از آن شیءها بر اساس چیز دیگری که بی‌واسطه [به ما] داده شده است می‌سازیم. تنها [تفاوت این است که] در اینجا این چیز دیگر داده‌های حواس نیست یا در درجه‌ی اول داده‌های حواس نیست. اینکه چیزی غیر از داده‌های حواس واقعاً بی‌واسطه داده می‌شود از این واقعیت نتیجه می‌گردد (مستقل از ریاضیات) که حتی ایده‌های ما راجع به شیءهای فیزیکی شامل اجزاء کیفاً متفاوتی از داده‌های حواس یا صرفاً ترکیب‌هایی از داده‌های حواس هستند، مانند ایده‌ی شیء فی‌نفسه، در صورتی که، از سوی دیگر، با تفکر خود نمی‌توانیم از نظر کیفی عنصرهای تازه‌ای بیافرینیم بلکه تنها آن چیزهایی را که داده شده‌اند می‌توانیم دوباره پدید آوریم و با هم ترکیب کنیم. آشکارا این «داده» که مبنای ریاضیات است با عنصرهای انتزاعی مندرج در ایده‌های تجربی ما پیوستگی نزدیکی دارند. به هر صورت، از اینجا، همان گونه که کانت اظهار کرده است، به هیچ‌وجه نتیجه نمی‌شود که این داده‌های نوع دوم، به این دلیل که نمی‌توانند به تأثیرهای چیزهای مشخصی بر ابزارهای حسی ما ارتباط داده شوند، چیزهایی صرفاً ذهنی هستند. بلکه آنها نیز ممکن است جنبه‌ای از حقیقت عینی را نمایش دهند، ولی، برخلاف داده‌های حسی، حضور آنها در ما چه بسا مربوط به نوع دیگری از نسبت میان ما و حقیقت باشد.»
در سال ۱۹۳۱، کورت گودِل[۱]، منطق‌دان اتریشی، [کاری][۲] را به انجام رساند [که] شاید یکی از مسحورکننده‌ترین دستاوردهای فکری تاریخ باشد.
ریاضیدانان آن عصر به دنبال بنیادی استوار برای ریاضیات بودند: مجموعه‌ای از بوده[۳]های بنیادین ریاضیاتی، یا ارزآغازه[۴]ها که هم پایا[۵] ـ هرگز به پادگویی[۶] منجر نشود ـ و هم کامل باشد تا به‌عنوان سنگِ بنای تمامی راستی[۷]های ریاضیاتی عمل کند.
اما قضیه[۸]های بُهت‌آور ناتمامیت[۹] گودِل که زمانی منتشر شدند که وی تنها ۲۵ سال داشت، آن رؤیا را درهم کوبید. وی ثابت کرد هرگونه مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها که بتوان به‌عنوان بنیادی محتمل برای ریاضی فرض کرد درنهایت ناگزیر ناتمام خواهد بود؛ همه گاه بوده‌هایی راست[۱۰] درباره‌ی اعداد وجود خواهند داشت که نمی‌توان توسط آن ارزآغازه‌ها آنها را به اثبات رساند. او همچنین نشان داد که هیچ مجموعه‌ی پیشنهادی از ارزآغازه‌ها هرگز نمی‌تواند پایایی[۱۱] خویش را به اثبات برساند.
قضایای ناتمامیت گودِل بدین معنی بودند که هیچ نظریه‌ی ریاضیاتی همه‌چیز[۱۲]، هیچ یگانگیِ[۱۳] [میان] آنچه اثبات پذیر[۱۴] و آنچه راست است، نمی‌تواند وجود داشته باشد. آنچه ریاضیدانان می‌توانند به اثبات برسانند به فرض[۱۵]های آغازین آنها بستگی دارد و نه بر هرگونه راستیِ آغازین بنیادین که از آن تمامی پاسخ‌ها سرچشمه می‌گیرد.
در ۸۹ سالی که از کشف گودِل می‌گذرد، ریاضیدانان با همان نوع از پرسش‌های بی‌پاسخی درگیر بوده‌اند که قضایای او پیش‌بینی کرده بود. برای مثال، خود گودِل به اثبات این مهم یاری رساند که فرضیه‌ی پیوستار[۱۶] که به اندازه‌های بیکران[۱۷] می‌پردازد، همانند مسئله‌ی توقف[۱۸] که می‌پرسد آیا یک برنامه‌ی رایانه‌ای تغذیه‌شده توسط یک درونداد[۱۹] تصادفی تا ابد اجرا می‌شود یا درنهایت متوقف خواهد شد، غیرقابل‌تعیین[۲۰] است. پرسش‌های غیرقابل‌تعیین حتی در فیزیک نیز مطرح شده‌اند که نشان از این دارد که ناتمامیت گودِلی نه‌تنها ریاضی، بلکه ـ به گونه‌ای کژ‌فهمانه ـ بودِش[۲۱] را نیز پریشان می‌کند.
اینجا خلاصه‌ای تسهیل شده و غیررسمی از شیوه‌ای که گودِل قضایای خویش را به اثبات رساند ارائه خواهم داد.
شماره‌گذاری[۲۲] گودِل
ترفند اصلی گودِل این بود که گزاره‌های مربوط[۲۳] به دستگاهی از ارزآغازه‌ها را با گزاره‌های درون[۲۴] این دستگاه ـ یا، به گزاره‌هایی درباره‌ی اعداد ـ مرتبط سازد. این ارتباط به دستگاهی از ارزآغازه‌ها اجازه می‌دهد که به طرز قانع‌کننده‌ای درباره‌ی خویش سخن بگوید.
نخستین گام در این فرارَوند[۲۵] این است که هرگونه گزاره‌ی شدنیِ[۲۶] ریاضیاتی، یا زنجیره‌ای از گزاره‌ها را با عددی متمایز که یک عدد گودِل خوانده می‌شود، مرتبط ساخت.
نسخه‌ی اندکی ویرایش شده‌ی طرح گودِل که اِرنِست ناگِل[۲۷] و جیمز نیومن[۲۸] در کتاب سال ۱۹۵۸ خود، اثباتِ گودِل[۲۹]، ارائه کردند با ۱۲ نماد ابتدایی آغاز می‌شود که در مقام واژه‌هایی برای بیان مجموعه‌ای از ارزآغازه‌های پایه عمل می‌کنند. برای مثال، این گزاره که چیزی وجود دارد[۳۰] می‌تواند توسط نماد Ǝ و اضافه یا تضاعف[۳۱] توسط + نشان داده شود. بلاخص، نماد s که بیانگر «پِی‌آیند ـِ»[۳۲] است امکان تبیین[۳۳] اعداد را فراهم می‌کند؛ برای مثال، ss۰ به عدد ۲ ارجاع می‌دهد. سپس این ۱۲ نماد [هرکدام به یکی از] اعداد ۱ تا ۱۲ گودِل اختصاص داده می‌شوند.
| معنای معمول | عدد گودِل | علامت ثابت |
| نه یا نفی[۳۴] | ۱ | ~ |
| یا[۳۵] | ۲ | ˅ |
| اگر… آنگاه…[۳۶] | ۳ | ᴐ |
| وجود دارد یک…[۳۷] | ۴ | Ǝ |
| برابر است با | ۵ | = |
| صفر | ۶ | 0 |
| پِی‌آیند ـِ | ۷ | s |
| علامت نقطه‌گذاری[۳۸] | ۸ | ) |
| علامت نقطه‌گذاری | ۹ | ( |
| علامت نقطه‌گذاری | ۱۰ | , |
| به اضافه‌ی | ۱۱ | + |
| ضربدر | ۱۲ | ₓ |
پس از آن، حروف [انگلیسی] نشانگر متغیر[۳۹]ها خواهند بود که با x، y و z آغاز می‌شوند و به اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۲ (مانند، ۱۳، ۱۷، ۱۹،…) ارجاع خواهند داد.
سپس به هرگونه ترکیبی از این نمادها و متغیرها ـ یعنی هرگونه فرمول حسابی[۴۰] یا زنجیره‌ای از فرمول‌ها که قابل تشکیل باشد ـ عدد گودِل خاص خود آن ترکیب داده می‌شود.
برای مثال، ۰ = ۰ را در نظر بگیرید. سه نماد این فرمول با اعداد ۶، ۵ و ۶ گودِل برابرند. گودِل باید این زنجیره‌ی سه عددی را به یک عدد متمایزِ واحد تبدیل کند ـ عددی که هیچ‌یک از زنجیره نمادهای دیگر به دست ندهند. برای انجام این مهم، وی سه عدد اولِ نخست (۲، ۳ و ۵) را برداشته، هرکدام از آنها را به عدد گودِلِ نمادی که در همان موقعیت در زنجیره قرار دارد برمی‌کشد و سپس آنها در همدیگر ضرب می‌کند؛ بنابراین ۰ = ۰ می‌شود ۲۶ × ۳۵ × ۵۶، یا ۲۴۳.۰۰۰.۰۰۰.
این نگاشت مؤثر است چون هرگز هیچ دو فرمولی یک عدد گودِل همسان را به دست نمی‌دهند. اعداد گودِل اعداد صحیح هستند و اعداد صحیح تنها به یک طریق بر اعداد اول بخش‌پذیر هستند. پس تنها حالت ممکن برای تجزیه‌ی عدد صحیح ۲۴۳.۰۰۰.۰۰۰، به اعداد اول ۲۶ × ۳۵ × ۵۶ است، بدین معنا که تنها یک شیوه‌ی ممکن برای رمزگشاییِ آن عدد گودِل وجود دارد: فرمول ۰ = ۰.
گودِل سپس گامی پیش‌تر رفت. یک اثبات ریاضیاتی زنجیره‌ای از فرمول‌ها را شامل می‌شود؛ بنابراین گودِل به هر زنجیره از فرمول‌ها نیز یک عدد گودِل متمایز بخشید. در این مورد نیز وی مانند قبل با فهرست اعداد اول ۲، ۳، ۵ و غیره آغاز می‌کند. سپس هرکدام از اعداد اول را به عدد گودِلِ آن فرمول در همان موقعیت در زنجیره برمی‌کشد (برای مثال اگر فرمول ۰ = ۰ نخست بیاید ۲۲۴۳.۰۰۰.۰۰۰ × …,) و همه‌چیز را در همدیگر ضرب می‌کند.
حسابی کردن مِتاریاضیات[۴۱]
لطف قضیه در این است که حتی گزاره‌های مربوط به فرمول‌های حسابی که گزاره‌های مِتاریاضیاتی نامیده می‌شوند، می‌توانند به فرمول‌هایی دارای عدد گودِل مختص خود برگردانده شوند.
نخست فرمول ~(۰ = ۰)، به معنای «صفر برابر با صفر نیست» را در نظر بگیرید. این فرمول آشکارا نا‌ـ‌راست[۴۲] است. بااین‌وجود، یک عدد گودِل دارد: ۲ به توان ۱ بر کشیده می‌شود (عدد گودِلِ نماد ~)، در ۳ به توان ۸ (عدد گودِلِ نماد «پرانتز باز») ضرب می‌شود و به همین طریق ادامه می‌یابد و می‌دهد ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹.
ازآنجایی‌که می‌توانیم برای تمامی فرمول‌ها، حتی موارد نا‌ـ‌راست، اعداد گودِل به دست آوریم، می‌توانیم از طریق سخن گفتن درباره‌ی اعداد گودِلِ آنها به‌گونه‌ای معقول درباره‌ی این فرمول‌ها سخن بگوییم.
گزاره‌ی «نخستین نماد فرمول ~(۰ = ۰) علامت مَد است» را در نظر بگیرید. این گزاره‌ی (راست) مِتاریاضیاتی درباره‌ی ~(۰ = ۰) به گزاره‌ای درباره‌ی عدد گودِلِ این فرمول برگردانده می‌شود ـ یعنی که نخستین نمای آن ۱ است، عدد گودِلِ برای یک علامت مَد. به‌عبارت‌دیگر، گزاره‌ی ما می‌گوید که ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹ تنها یک عامل ۲ دارد. اگر ~(۰ = ۰) با هر نماد دیگری جز یک مَد آغاز می‌شد، عدد گودِلِ آن دست‌کم دو عامل ۲ می‌داشت؛ بنابراین، به‌گونه‌ای دقیق‌تر، ۲ عاملی از ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹ است؛ اما ۲۲ یک عامل نیست.
ما می‌توانیم جمله‌ی اخیر را به یک فرمول حسابی دقیق تبدیل کنیم که می‌توانیم آن را توسط نمادهای پایه به نوشتار درآوریم[i] البته که این فرمول یک عدد گودِل دارد که می‌توانستیم توسط نگاشتن نمادهای آن به نماهای اعداد اول آن را محاسبه کنیم.
ناگل و نیومن می‌نویسند که این مثال، «شهودی بسیار عام و عمیق را نمونه‌سازی[۴۳] می‌کند که در قلب کشف گودِل قرار دارد: می‌توان به‌جای بحث درباره‌ی خصایص تایپوگرافیکِ زنجیره‌های بلند نمادها، با سخن گفتن درباره‌ی خصایص تجزیهپذیری اعداد صحیح بلند به اعداد اول، به صورتی مستقیم اما فوق‌العاده دقیق در مورد آنها سخن گفت».
تبدیل به نمادها همچنین برای گزاره‌های مِتاریاضیاتی نیز ممکن است، «زنجیره‌ای از فرمول‌ها با عدد گودِلِ x وجود دارد که فرمولِ با عدد گودِلِ k را اثبات می‌کند» ـ یا به‌طور خلاصه، «فرمولِ با عدد گودِلِ k اثبات پذیر است». قابلیت «حسابی کردن[۴۴]» اینگونه گزاره‌ها صحنه را برای کودتا آماده می‌کند.
خودِ G [۴۵]
شهود دیگر گودِل این بود که وی می‌تواند بدون هیچ مشکلی عدد گودِلِ مختص یک فرمول را در خودِ فرمول جایگزین کند.
برای فهم اینکه جایگزینی[۴۶] چگونه عمل می‌کند، فرمول (∃x)(x = sm) را در نظر بگیرید. (بدین معنی که «متغیر xـی وجود دارد که به دنبال y می‌آید»، به‌طور خلاصه، «y یک پِی‌آیند دارد»). مانند تمامی فرمول‌ها، این فرمول هم یک عدد گودِل دارد ـ عدد صحیح بزرگی که ما به‌اختصار m خواهیم خواند.
اکنون بیایید در فرمول مذکور m را به‌جای نماد y بگذاریم. این کار باعث می‌شود که فرمول جدیدی شکل بگیرد، (∃x)(x = sm)، بدین معنا که «m یک پِی‌آیند دارد». عدد گودِلِ این فرمول جدید را چه باید بنامیم؟ سه مورد از اطلاعاتی [که تاکنون داریم] را باید مدنظر قرار دهیم: ما با فرمولی آغاز کردیم که عدد گودِلِ m را دارد. در این فرمول، m را جایگزین نماد y کردیم؛ و با توجه به شیوه‌ی انگاشتی که پیش‌تر معرفی کردیم، نماد y دارای عدد گودِلِ ۱۷ است؛ بنابراین بگذارید که عدد گودِلِ فرمول جدید را sub(m, m, 17) تعیین کنیم.
جایگزینی قضیه‌ی اصلی یا معمایِ[۴۷] اثبات گودِل را شکل می‌دهد.
وی همراه با فرمول پیشین این گزاره‌ی مِتاریاضیاتی را در نظر گرفت که «فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(y, y, 17) قابل‌اثبات نیست». با توجه به علامت‌نویسی‌ای[۴۸] که اندکی پیش یاد گرفتیم، فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(y, y, 17) همانی است که با برداشتن فرمولِ دارای عدد گودِلِ y (متغیری نامشخص) و جایگزین کردن این متغیر y در هر جایی از فرمول که نمادی با عدد گودِلِ ۱۷ وجود دارد (هر جایی که یک y وجود دارد)، به دست آوردیم.
اوضاع دارد اندکی نشئه‌آور[۴۹] می‌شود، اما بااین‌وجود، گزاره‌ی مِتاریاضیاتی ما ـ «فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(y, y, 17) قابل‌اثبات نیست» ـ بدون شک قابل برگرداندن به فرمولی با یک عدد گودِلِ متمایز است. بیایید این عدد را n بنامیم.
اکنون، یک دور جایگزینی دیگر برای آخرین بار: گودِل با جایگزینی عدد n در هر جایی از فرمول پیشین که یک y وجود دارد فرمولی جدید خلق می‌کند. فرمول جدید او می‌گوید: «فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(n, n, 17) قابل‌اثبات نیست». اجازه دهید این فرمول جدید را G بخوانیم.
بنا به قاعده، G یک عدد گودِل دارد. [اما] مقدار آن چه می‌تواند باشد؟ خب بفرمایید! باید sub(n, n, 17) باشد! بنا به ذات قضیه، sub(n, n, 17) عدد گودِلِ فرمولی است که از برداشتن فرمولِ دارای عدد گودِلِ n و جایگزین کردن n در هر جایی که نمادی با عدد گودِلِ ۱۷ وجود دارد، به دست آمده است؛ و G دقیقاً همین فرمول است! به دلیل متمایز بودنِ تجزیهپذیری اعداد اول، اکنون می‌توانیم ببینیم که آنچه فرمول G درباره‌ی آن سخن می‌گوید چیزی جز خودِ G نیست.
خودِ G مؤید این است که قابل‌اثبات نیست.
اما آیا G قابل‌اثبات است؟ اگر چنین باشد، این بدین معنی خواهد بود که زنجیره‌ای از فرمول‌ها وجود دارد که فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(n, n, 17) را اثبات می‌کند؛ اما این در مقابلِ G که می‌گوید چنان اثباتی وجود ندارد، قرار می‌گیرد. گزاره‌های پادگویِ G و ~G، هر دو نمی‌توانند در یک دستگاه ارزآغازیکِ[۵۰] پایا راست باشند؛ بنابراین راستیِ G باید غیرقابل‌تعیین باشد.
بااین‌وجود، هرچند که G غیرقابل‌تعیین است، به‌طور آشکارا راست است. G می‌گوید، «فرمولِ دارای عدد گودِلِ sub(n, n, 17) قابل‌اثبات نیست.» و این دقیقاً همان مسئله‌ای است که ما به دنبال آن بودیم. ازآنجایی‌که G در دستگاه ارزآغازیکی که از آن برآمده است راست اما غیرقابل‌تعیین است، آن دستگاه ناتمام است.
شاید به این فکر کنید که می‌توان به‌راحتی ارزآغازه‌ی دیگری برای اثبات G فرض کرد و پارادَخش[۵۱] را رفع نمود؛ اما نمی‌توانید چنین کاری بکنید. گودِل نشان داد که دستگاه ارزآغازه‌ی افزوده[۵۲] اجازه‌ی ساخت یک فرمول راستِ جدیدِ Gʹ (بر اساس همان شیوه‌ی مشابه پیشین) را می‌دهد که در درون دستگاه افزوده‌ی جدید قابل‌اثبات نیست. در تلاش برای یافتن یک دستگاه ریاضیاتی تمام/کامل، شما هیچ‌گاه نمی‌توانید به دُم خویش برسید.
فقدان اثبات پایایی
ما دریافتیم که اگر مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها پایا است، پس ناتمام است. این نخستین قضیه از قضایای ناتمامیت گودِل است. دومین ـ این که هیچ مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها نمی‌تواند پایایی خویش را اثبات کند ـ به‌راحتی از نخستین منتج می‌شود.
به چه معنا خواهد بود اگر مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها بتواند ثابت کند که هرگز به پادگویی منجر نخواهد شد؟ بدین معنی: زنجیره‌ای از فرمول‌های برآمده از این ارزآغازه‌ها وجود دارد که آن فرمول را ثابت می‌کند [و این] بدین معناست که به‌صورت مِتاریاضیاتی، «این مجموعه از ارزآغازه‌ها پایاست». با توجه به قضیه‌ی نخست [گودِل] این مجموعه از ارزآغازه‌ها بایستانه[۵۳] ناتمام خواهد بود.
اما گفتن اینکه «مجموعه‌ی ارزآغازه‌ها ناتمام است» همسان گفتن این است که «فرمولی راست وجود دارد که قابل‌اثبات نیست». این گزاره هم‌ارز همان فرمول G خودمان است؛ و ما می‌دانیم که ارزآغازه‌ها نمی‌توانند G را اثبات کنند.
بنابراین گودِل از طریق پادگویی یک اثبات را خلق کرده است: اگر مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها بتواند پایایی خودش را به اثبات برساند، آنگاه خواهیم توانست G را اثبات کنیم؛ اما نمی‌توانیم؛ بنابراین، هیچ مجموعه‌ای از ارزآغازه‌ها نمی‌تواند پایایی خویش را به اثبات برساند.
اثباتِ گودِل جستجو برای یک دستگاه ریاضیاتی پایا و کامل را نابود کرد. ناگِل و نیومن در سال ۱۹۵۸ چنین نوشتند: معنای ناتمامیت «[هنوز] به‌طور کامل درک نشده است». این گفته امروزه نیز راست است.
پانویس‌ها:
[1] Kurt Gödel
[2] تمامی عبارت‌های داخل کروشه از مترجم است.
[3] Fact
[4] Axiom
[5] Consistent
[6] Contradiction
[7] Truth
[8] Theorem
[9] Incompleteness
[10] True
[11] Consistency
[12] Mathematical theory of everything
[13] Unification
[14] Provable
[15] Assumption
[16] Continuum hypothesis
[17] Sizes of infinity
[18] Halting problem
[19] Input
[20] Undecidable
[21] Reality
[22] Numbering
[23] About
[24] Within
[25] Process
[26] Possible
[27] Ernest Nagel
[28] James Newman
[29] Gödel’s Proof
[30] Something exists
[31] Addition
[32] Successor of
[33] Specifying
[34] Not
[35] Or
[36] If…then…
[37] There is an…
[38] Punctuation mark
[39] Variables
[40] Arithmetical
[41] Arithmetizing Metamathematics
[42] False
[43] Exemplify
[44] Arithmetize
[45] G itself
[46] Substitution (sub)
[47] Crux
[48] Notation
[49] Trippy
[50] Axiomatic
[51] Paradox
[52] Augmented axiomatic system
[53] Necessarily
[i] برای کسانی که می‌خواهند بدانند، گزاره چنین است: «عدد حسابیِ xـی وجود دارد چنان‌که x ضربدر ۲ برابر است با ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹ ، و هیچ عدد حسابیِ xـی وجود ندارد چنان‌که x ضربدر ۴ برابر باشد با ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹» فرمول متناظر آن می‌شود:
(∃x)(x × ss0 = sss … sss0) ⋅ ~(∃x)(x × ssss0 = sss … sss0)
ازآنجایی‌که sss … sss0 متناظر با ۲۱ × ۳۸ × ۵۶ × ۷۵ × ۱۱۶ × ۱۳۹ است نماد بعد از آن یعنی . [نقطه] s را رونویسی می‌کند. نمادِ. به معنای «و» است و خلاصه‌شده‌ی عبارتی بلندتر در لغات بنیادین است: p ⋅ q معادل ~(~p ∨ ~q) است.